中1で高校数学A？場合の数・確率まで進む学校のリアル
12月のある平日の夜、オンライン自習室に中1の男子生徒が入ってきました。画面に映る手元のノートには、「₅P₃」「₅C₃」という見慣れない記号。聞くと、学校の数学でいま高校数学Aの「場合の数」をやっているとのことでした。
その子の学校は、四谷大塚偏差値で50台後半〜60前後の男子進学校です。土曜授業もあり、数学の進度はかなり速いほう。2月に再び自習室で会ったときには、もう「確率」に入っていました。
中1で高校の内容、と聞くと驚かれるかもしれません。でも、私立中高一貫校ではこういう学校が実際にあります。この記事では、場合の数・確率を早く学ぶ学校で何が起きているのか、家でどう支えればいいのかをお話しします。
なぜ「場合の数」は早めに扱われるのか
場合の数は、中学受験の算数でかなりの時間をかけてきた単元です。樹形図を書いて全部数える、並べ方と選び方を区別する、といった考え方を、中学受験経験者はすでに持っています。
だから学校によっては、中学の早い時期に高校数学Aの場合の数を扱ったり、逆に中3で「受験経験者が多く得点率が高いから」と場合の数をカリキュラム上飛ばしたりします。どちらも「中学受験の知識がそのまま使える単元」という見方は同じです。
ブリッジスターの土曜の集団授業でも、数学では場合の数・確率・集合を、学年を問わずに高校数学の範囲で先に教えています。中学受験の知識を土台にできるので、中学生でも十分に理解できるからです。
算数の「数え上げ」と、数学の「記号で表す」の違い
ただし、中学受験の算数と高校数学Aでは、同じ問題でも書き方が変わります。
たとえば「A、B、C、D、Eの5人から3人を選んで1列に並べる方法は何通りか」。算数では、1番目が5通り、2番目が4通り、3番目が3通りなので5×4×3=60通り、と考えました。数学ではこれを順列の記号で ₅P₃＝5×4×3＝60（通り）と書きます。
「5人から3人を選ぶだけ（並べない）」なら、組合せの記号を使って ₅C₃＝(5×4×3)÷(3×2×1)＝10（通り）。並べる場合の60通りを、3人の並び順の3×2×1＝6通りで割っている、という意味です。
ここまでは、算数でやってきたことに名前がついただけ、と言えます。問題は「なぜ割るのか」「なぜかけるのか」を言葉で説明できるかどうかです。学校の定期テストでは、答えだけでなく考え方を書かせる問題がよく出ます。算数の感覚で数えられる子ほど、この説明を省いてしまいがちです。
定期テストで差がつくのは「重複」と「余事象」
中3で数学Aの場合の数・確率を扱った、偏差値60弱の男子進学校の定期テストを分析したことがあります。出題されていたのは、組分けの重複、最短経路の余事象、円順列、期待値、重複組合せといった問題でした。どれも、ただ数え上げるだけでは解きにくいものです。
たとえば「6人を2人ずつ3つの組に分ける方法は何通りか」。順番に選ぶと ₆C₂×₄C₂×₂C₂＝15×6×1＝90 ですが、組に名前がない（A組・B組・C組のように区別しない）ので、3つの組の並び方3×2×1＝6で割って、90÷6＝15（通り）になります。この「割る」の判断が、算数ではあいまいなままでも何とかなっていたところです。
円順列も同じです。5人が円形のテーブルに座る並び方は、回転して同じになるものを1つと数えるので、1人を固定して残り4人を並べ、4×3×2×1＝24（通り）。5人を1列に並べる120通りを、回転の5通りで割っても同じ答えになります。
重複組合せは、中学受験経験者が「見たことはあるけれど説明できない」ことの多い問題です。「同じりんご5個を3人に分ける。1個ももらわない人がいてもよい」とき、りんごを○5個、分け目を仕切り｜2本と考えると、○○｜○｜○○ のような7個の並べ方になります。7か所から仕切りの2か所を選ぶので、₇C₂＝21（通り）。図にして数え方を言葉にできれば、公式を丸暗記しなくても解けます。
確率になると、さらに「余事象」が出てきます。「コインを3回投げて、少なくとも1回表が出る確率」は、全部裏になる確率1/8を1から引いて、1−1/8＝7/8。直接数えるより、反対側から数えたほうが早い問題です。
「場合の数は得意、確率で崩れる」はよくあるパターン
場合の数までは得意だったのに、確率に入ったとたんに点が落ちる子がいます。自習室で講師も「場合の数は中学受験の知識がそのまま使える。そのあとの確率は数学的に複雑になるから気をつけて」と声をかけていました。
確率では、「どれも同じ程度に起こりやすい」と言える数え方をしているかが問われます。たとえば2個のサイコロの目の和を考えるとき、2個を区別して6×6＝36通りで数えないと、確率がずれてしまいます。算数では「なんとなく」で済んでいたところを、数学では前提をはっきりさせてから数える。この切り替えができるかどうかが分かれ目です。
数学の問題は、書かれていない条件を自分で確認するところから始まるものが多く、これは国語の力、つまり論理の力でもあります。土曜授業で「集合とド・モルガンの法則」を扱った回では、参加していた小6の子がいちばんよく理解し、中2の生徒のほうが苦戦していました。学年よりも、言葉を正確に読む力が効いてくる単元だと感じます。
家でできるのは「書き出し」と「言葉での説明」
この単元で家庭ができることは、意外とシンプルです。
ひとつは、公式を使う前に、小さい数で書き出してみること。「4人から2人を選ぶ」なら、AB、AC、AD、BC、BD、CDと6通りを実際に書いて、₄C₂＝6と一致するのを確かめる。これを面倒がらずにやる子は、確率で崩れにくくなります。
もうひとつは、解いた問題を親に説明させることです。「なんで6で割ったの？」と1つ聞くだけで十分です。答えにつまったら、そこが理解のあいまいなところです。
学校の問題集の発展問題で詰まったときは、解説動画を探すのも手です。中3の生徒が不定方程式の発展的な解き方で行き詰まり、予備校講師の解説動画を親子で見て理解し、定期テストで解けた、という話も保護者会で聞きました。
ブリッジスターでの取り組み
ブリッジスターでは、学校が中1から高校数学に入っている生徒には、学校の範囲表に合わせて高校数学の映像授業とレベル別のプリントを使ってもらっています。数学Ⅰ・Aは単元ごとに、基礎・標準・発展の3段階のプリントがあり、まず基礎を解いてミスが多ければ同じレベルの別のプリントで練習し直す流れです。
オンライン自習室では、黙々と90分前後取り組んだあと、コーチと短く話して終わる生徒が多くいます。「今日は場合の数のどこまで進んだか」「どの問題で止まったか」をその場で話してもらうと、次の面談で何を確認すればいいかがはっきりします。
中1で高校数学、というのは確かに速い。でも、中学受験で積み上げた力が一番生きる単元でもあります。その力を「数学の言葉」に置き換える作業を、毎日少しずつ続けていけば、十分についていけます。
中高一貫ブリッジスターは、私立中高一貫生のためのオンライン塾です。学校ごとの進度と定期テストの範囲に合わせた学習計画づくり、毎日の学習日報へのフィードバック、コーチとの面談、オンラインの集団勉強会や自習室で、部活や通学で忙しい毎日の中でも、家での勉強がきちんと回る状態をつくります。
「学校の進度が速くてついていけているか不安」「定期テストの前に何から手をつければいいか分からない」——そんなときは、まずLINEからお気軽にご相談ください。お子さんの学校の進度や今の成績をうかがい、いまやるべきことを一緒に整理します。
※本記事の事例は、複数のご相談内容をもとに、個人や学校が特定されないよう再構成しています。
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